uCoz предоставляет несколько вариантов прикрепления домена:
1. Приобрести домен на domain.ucoz.com (Вы можете приобрести домен на сайте регистрации доменов от uCoz - domain.ucoz.com)
2. Перенести существующий домен на DNS-сервера uCoz (Вы можете прикрепить любой домен на свой сайт этим способом, кроме поддомена)
3. Прикрепить существующее доменное имя без переноса домена на сервера uCoz (Этим способом можно прикрепить поддомен).
Пример:

Все действие следует делать в Панель управления > Настройки > Перенос домена (свой домен).

Чтобы зарегистрировать домен, нажмите на кнопку [ Продолжить... ] под способом №1.
Пример:

Вы перейдёте на сайт регистрации доменов от uCoz.
Когда Вы приобретёте домен на свой сайт через domain.ucoz.com, либо через другой сайт регистрации доменов, Вы должны будете указать DNS-сервера uCoz - это ns1.ucoz.net и ns2.ucoz.net.
После того, как оплатите домен, сразу прикрепляйте домен способом 2.
Для этого вернитесь в Панель управления (Перенос домена).
Нажмите на кнопку [ Продолжить... ] под способом №2.
Пример:

Переходим к Припарковке домена.
После нажатия на кнопку Продолжить, у Вас появилось поле для ввода.
Введите туда название домена, который Вы приобрели.
Пример:

После того, как ввели, нажмите на кнопку Припарковать домен.
После нажатия на кнопку у Вас появится следующее:
Пример:

Ожидайте 5 минут, не закрывая окна, пока домен не прикрепится.
В течении 5 минут происходит создание специальных настроек на DNS-серверах uCoz.
После того, как время истечёт, то обновив страницу можно увидеть примерно следующее:

После всего этого, когда домен будет окончательно зарегистрирован на domain.ucoz.com (может 6-8 часов), появится вот это:

Нажмите на кнопку Прикрепить домен.
Через 15 минут сайт будет действовать по новому домену. Стандартный домен от uCoz также буде работать.
СПОСОБ №3.
На домене, поддомен которого Вы хотите прикрепить, в панели управления доменным именем необходимо указать, что он ведет на IP-адрес "указан в способе 3", при этом создав A-запись (на примере он указан жирным подчёркнутым шрифтом).
Подождать, пока изменения вступят в силу (обычно, до 6 часов).
Приблизительно через 6 часов на сайте uCoz, которому нужен поддомен, сделайте следующее:
На своём сайте нужно нажать под способом 3 кнопку [ Продолжить... ].
Появится поле для ввода доменного имени.
Пример:

Впишите поддомен и нажмите на кнопку Прикрепить домен.
Приблизительно через 15 минут сайт начнёт конфигурировать по новому доменному адресу.
Внимательно всё прочитайте. Домен не паркуется на серверах uCoz.
Изменить прикрепленное доменное имя можно только, открепив существующее и прикрепив новое.
Вот теперь сайт уже точно работает по новому домену.
Ограничения поддомена: Вы не можете прикреплять поддомены, подключать почту к домену и т.д. У Вас есть возможность использовать это доменное имя только на сайте. Поэтому 3 способ только для прикрепления поддоменов.
Сообщения с просьбой о помощи без нового доменного имени будут удалены.